今日も誰もが知りたいかもしれない、複素数の無限積の動きを追跡してみた。
クローズした式での表記はこうなるだろ。
二次元座標にすると最初の９項はこうなる。実部と虚部をx座標、y座標にしている。
{1, 1}, {1/2, 3/2}, {0, 5/3}, {-(5/12), 5/3}, {-(3/4), 19/12}, {-(73/72), 35/24}, {-(11/9), 331/252}, {-(2795/2016), 65/56}, {-(3055/2016), 18265/18144}
3項目は実部が０で、純虚数である。おそらく、これが唯一無二の純虚数になる項だ。
Arctan(1)+Arctan(1/2)+Arctan(1/3)=π/2
n=1904の時には、（0.00070245245166408679480, 1.9168066458102493393）と純虚数にかなり近くなるが、実部はゼロではない。こんなのが無限回出現するだけであろう。
そのパターンをガウス平面に描く（最初の100項）
（1,1）から出発して、左回りの軌跡を描き出し、次第に半径は一定値に落ち着く。
2000項までではその特徴がはっきりしてくる。
リミットサイクルのようにある極限の半径の円に巻き付いてゆくようだ。
つまり、半径は極限があるが、偏角はどこまでも増え続けるような傾向にある。
半径の極限値は1.91に収束することが証明できる。偏角は下式となり、定まらない。
考えてみれば、
も同じような特徴を示す（偏角の増大に向きは逆）
さらに、この二種の複素数の積は下式を因数分解したものである。
極限値に双曲線関数（hyperbolic function）が顔を出すのが心憎い。
【参考文献】
