大いなる法螺定理をここらで披露しておこう。
その経緯から、ヨハン・ベルヌーイのエイブリーフール定理と仮称しておく。
それは如何なるものか。
次の極限値を考える。
k＝1は分母=0になるので外している。そして、シグマの値は発散する。
なので、log(log n))を引いておく。
オイラーの定数の類比であるのは一目瞭然であろうけれど、リアルな極限値は数学書コレクターの自分もあまり見かけたことがない。
ｎ＝1000000での値は「0.794678681644099759.....」である。何分にもトロ～い収束なのだ。収束の悪さについては下のピックオーバーの著書を参考にしてほしい。
さて、自分のBlog「ヨハン・ベルヌーイの定積分と1/(n＾n)について」の流儀に従って、下の定積分を考える。
数値計算オタクは積分の範囲に注目してほしい。有名どころの超越数が並んでいる。
これで道具立てがそろった。
ヨハン・ベルヌーイのエイブリーフール定理は下記の等式を主張する。
左辺の値はおおむね、0.7949967439646...........くらいであることは、こっそり教えておくことにします。
【参考文献】
1/（k log k）の総和に関して、自分の知る限りでの計算への言及はピックオーバーの下記の本の19章の「カリストの無限虫」にある。総和が３を超えるのに8690項必要だとしている。こんなことを計算するのは大いなる閑人である証拠だ。
思えば、この本は計算可能な巨大数の扱いの始まりだったかなあ。
