AGMの逆関数

　驚異の天才ガウスの業績のひとつに算術幾何平均の極限についての研究がある。
２つの正の数について相加平均と幾何平均を繰り返すと収束、それも急速に収束する。

　これを何回も反復するだけのことである。
　収束は当たり前かもしれないが、その極限がある積分に一致するという恐るべき定理まで導いている。
　こちらのｗｉｋｉに概要が紹介されている。

　なんといっても唖然とするのは円周率の計算に使えることである。現在でもその改良型が何十億桁という円周率の数値計算に適用されているのが偉大さを物語る。
こうした算術幾何平均のバリエーションを解説しているのがシェーンベルグの本である（近代科学社刊）

　その逆関数の振る舞いを後で計算してみようと思う。算術幾何平均とは違い、収束しないのが注目されるのだ。どのように発散するのだろうか？
　上記の算術幾何数列と逆関数となるのひとつの表現は下記である。

　シェーンベルグの本はほどほど難しいが、高校生でも読みこなせなくはない。良書

数学点描