夏休みの多項式分解宿題 - 完全無欠で荒唐無稽な夢

　これも夏休みの頭のほぐし計算ですね。

４乗の多項式で、a+b+c+d=0 のときの因数分解の一例です（ラマヌジャンがやってる計算を参考にしてます）

　言い換えると上記の左辺は負になることはないわけですね。それなりに興味深い因数分解ではないでしょうかね。
　ちなみに５項の５乗和での類似例はいろいろトライしてみましたが、複雑で面白みにかけます。
せいぜいが、a+b+c+d+e=0　のもとで下式が成立するくらいでしょう。

　この厄介さは、五次方程式に根号解がないとの関係しているんでしょうかね。

【アンチョコ的補足】
　基本対称式を使えば、比較的容易にこうした因数分解は探せます。多分ラマヌジャンも頭のなかでそうしたのでしょう。

　そのやり方のステップを示します。

１）最初の多項式を設定します。同次多項式で対称式であることが重要です。
２）次に基本対称式に分解します。対称式は基本対称式に分解できるわけです。
　　ここのところが計算量と手腕が必要です。
３）基本対称式の一つ、例えば a+b+c=0 にすれば元の式が単純なものになるかを試行錯誤します。

【参考資料】
　代数学の教科書などに基本事項はあります。コックスの本のような事例が豊富な教科書が面白いですね。「ガロア理論」と銘打ってますが代数学のおさらいを含んでます。