壁を滑る長さ一定の棒の描く包絡線というとアステロイドとなる。思い出しを兼ねて再導出しておこう。棒の長さをｌとする。壁は鉛直の壁。水平面と棒のなす角θとすると分かりやすい。
この棒の第一象限での方程式は初等数学から下記となる。
ここは、プリミティブな方法でやってみます。
包絡線の基本的な考え方は棒の位置θの微小変異での交点の軌跡であると見なせばいいだろう。
ここでは2つの位置θ＝αとθ＝βをとる。
交点の座標を求めると上の方程式を連立させて、こうなる。
解は下式になる。
β＝α+δを代入し、δ→0の極限をとれば、簡潔な媒介変数のセットになる。
これはアステロイドの式であります。
ｌ＝１として、全象限で描画したらばこうなる。
ここでは前座であります。変種を考えてみました。
壁が鉛直ではなく、αで曲がっている場合ですね。棒が滑るとどんな包絡線になるでしょうか？（下図）
問題の定式化さえできてしまえば、回答の導出は比較的容易でありましょう。
上記の媒介変数による曲線例を例示しておきます（α＝π/3）
θの制限は無視して描いています。
アステロイドが歪んでいるのが面白いところでしょうな。
