螺旋にからみつく螺旋

　ｚ軸方向にグルグルと巻きつく螺旋の式は、a,bを定数として、このように表現できる。ａは上から見た半径になる。そのθは回転角でありパラメータでもある。

１）

この螺旋に絡みつく螺旋というのを表現してみたい。その寄生螺旋の条件は、ホスト螺旋の接線に対して、鉛直に枝をだし、半径が一定で細かくからみつく．..
そんな曖昧な条件としておこう。

まず、接線ベクトルｔを求めよう。
２）

さらに法線ベクトルｎだ。意外に簡単な式になる。
３）

　二つの単位ベクトルの外積が陪法線ベクトルｂとなる。
４）

これで全て準備は整った。１）に次のベクトルを加算すればよいのだ。
ｎとｂは、それぞれ３）と４）である。

５）
　ここまでは母体の線は螺旋でなくともいい。つまり、どんな空間曲線にも巻きつけ可能な議論であります。

　cosとsinは大きさが一定で付け根周りでグルグル回転させるための関数である。これを各単位ベクトルに係数として付け加える。
　というように合成した結果、寄生する螺旋ベクトルはこのような表現となる。

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本当に「螺旋にからみつく螺旋」になっているのであろうか？
{a -> 10, b -> 3, p -> 16}として描画してみた。

　親の螺旋に絡みつく蔦のようなものが５）の寄生螺旋となる。ｐを増やすと絡まり度合いが増加する。
　次はp=32としたものだ。

半径は変化せずに絡まり方が増えたのがお分かりいただけたであろうか。

管状にして色付けしてみたのがこちらである。

　こうしてみると初等的な曲線の微分幾何学でもかなり遊べますね。

じっくり学ぶ曲線と曲面―微分幾何学初歩