円をｘ軸上で回転させると円周上の一点の描く曲線はサイクロイドである。であるならば、楕円を転がして出来るのがダサイクロイドである。
ダサイクロイドは置いておいて、楕円を転がすとどうなるかを図形的もしくは解析幾何学的に試算してみよう。
考え方はこうであります。
１）楕円でｘ軸の切片ａ=1、ｙ軸をｂ=a(1-e^2)^(1/2)とする。eは偏心率であります。
こうしても一般性は保たれます。thは原点からの仰角です。
楕円上の点(a Cos(th),b Sin(th))=(Cos(th),(1-e^2)^(1/2) Sin(th))を考える。
２）その接線の式は高校数学でも習うように次式となります。
x Cos(th)+y (1-e^2)^(-1/2) Sin(th)=1
ここから直線の傾きが出せるのです。
３）原点を(Cos(th),(1-e^2)^(1/2) Sin(th))にシフトする。その楕円の式はこうなる。
ここでθはパラメータである。原点を通り、ｘ軸に接する楕円の媒介変数表示である。
e=0.4、th=Pi/6での楕円はこうなる。
４）この媒介変数を ２）で出す傾きを使い、phi -> ArcTan[Cot[th] Sqrt[1 - e^2]]だけ回転させたものが、ｘ軸上を転がる楕円の式となる。簡約形はこうなる。
e=0.4、th=Pi/4での楕円はこうなる。
上図で楕円が原点で接していないのにお気づきであろうか。実はころがり分をｘ軸に加算している。
これは楕円積分である。
以上が導出の流れでありました。