四次方程式の解と判別式の比較

　次の四次方程式の解の一つを提示しておく。数式処理ソフトMathematicaで出したものである。チルンハウス変換で三次の項が抜けるのでこうしている。

　　　x^4+ a x^2+ b x+ c　==0

この平方根に中身が判別式となるわけだ。

http://d.hatena.ne.jp/Hyperion64+universe/20110719/1311083646
以前のブログの結果と比較してみよう。このブログでは終結式の理論から下式を導出した。

　　　-27 b^4 + b^2 (-4 a^3 + 144 a c) + c (16 a^4 - 128 a^2 c + 256 c^2)

　検算してみると解の方が２７倍だけ上式より大きく、比例しているのが確かめられた。
つまり、４次方程式の判別式はこのようにも簡略化できる。
　　　　-4 (a^2 + 12 c)^3 + (2 a^3 + 27 b^2 - 72 a c)^2

明解ガロア理論 [原著第3版] (KS理工学専門書)