n次方程式の判別式を出す - 完全無欠で荒唐無稽な夢

　一変数のｎ次関数ｆ＝０として、ｘについての重根の判別式Dを導こう。
二次方程式の判別式Dはご承知のように

　　D＝ｂ^2-4 a c
となる。このＤをｎ次方程式で出来るところまで出すのが目標だ。
　というのも先ごろ、京大が16次方程式の判別式をコンピュータで出力できたとニュースがあったからだ。膨大な量の項数からなる式であり、ギネスものらしい。
　　→http://journal.mycom.co.jp/news/2011/06/28/003/index.html

　方法は代数学の教科書にある通りで、終結式の行列を使うだけだ。
三次方程式fから出発しよう。一階微分f'と並べて重根を想定してやれば良い。a[i]は係数である。
f(x)=a[3] x^3 + a[2] x^2 +　a[1] x + a[0]=0
f'(x)= 3 a[3] x^2+ 2 a[2]　x +a[1] =0
の終結式＝判別式は以下の行列式を計算することに等価である。

答えはこうだ。

　-a[1]^2 a[2]^2 + 4 a[1]^3 a[3] - 18 a[0] a[1] a[2] a[3] + a[0] (4 a[2]^3 + 27 a[0] a[3]^2)

これでは、合っているかどうかも分からないままである。

　しかし、よく知られている「x^3 + c x + d == 0」の三次方程式の解を参照しよう。

この平方根の中身と同じことはすぐ証明できる。各自、下記の置換えを試みられよ。
　a[3]＝1、 a[2]＝0 、a[1]＝ c、a[0] ＝ d

次は四次方程式である。
終結式の行列から表示する。

この判別式はこうなる。いやあ、複雑でスイマセンねえ。

　-27 a[1]^4 a[4]^2 + a[1]^3 (-4 a[3]^3 + 18 a[2] a[3] a[4]) - 2 a[0] a[1] a[3] (-9 a[2] a[3]^2 + 40 a[2]^2 a[4] + 96 a[0] a[4]^2) + a[1]^2 (a[2]^2 a[3]^2 - 4 a[2]^3 a[4] - 6 a[0] a[3]^2 a[4] + 144 a[0] a[2] a[4]^2) + a[0] (-4 a[2]^3 a[3]^2 + 16 a[2]^4 a[4] + 144 a[0] a[2] a[3]^2 a[4] - 128 a[0] a[2]^2 a[4]^2 + a[0] (-27 a[3]^4 + 256 a[0] a[4]^3)　)

お詫びのしるしの、これもよく知られた「x^4 + c x + d == 0」に対応させてみましょう。

　　-27 c^4 + 256 d^3

同様に６次方程式である。係数はa[i]からc[i]となる。