行列式のあるパターンについてのメモ

　あるタイプの対称性がある行列式をもて遊んでしてみる。

　最初は、三次の行列（Matrix）からだ。

　この行列式(determinant)は受験数学でおなじみのかたちになります。因数分解できるのだ。
　a^3 + b^3+ c^3 - 3 a b c ＝(a + b + c) (a^2 - a b + b^2 - a c - b c + c^2)

　この一般化（ｎ次化）は容易であろう。

４次の行列はこうなる。

行列式はこうなり、因数分解もできる。
a^4 - b^4 + 4 a b^2 c-2 a^2 c^2 + c^4 -4 a^2 b d - 4 b c^2 d + 2 b^2 d^2 +4 a c d^2-d^4
＝(a + b + c + d)(a - b + c - d)(a^2 + b^2 - 2 a c + c^2 - 2 b d + d^2)

　以下、５次、６次、７次までを示す。

５次
　a^5 + b^5 - 5 a b^3 c + 5 a^2 b c^2 + c^5 + 5 a^2 b^2 d - 5 a^3 c d - 5 b c^3 d + 5 b^2 c d^2 + 5 a c^2 d^2 - 5 a b d^3 + d^5 - 5 a^3 b e + 5 b^2 c^2 e - 5 a c^3 e - 5 b^3 d e - 5 a b c d e + 5 a^2 d^2 e - 5 c d^3 e + 5 a b^2 e^2 + 5 a^2 c e^2 + 5 c^2 d e^2 + 5 b d^2 e^2 - 5 b c e^3 - 5 a d e^3 + e^5
　＝(a + b + c + d + e) (a^4 - a^3 b + a^2 b^2 - a b^3 + b^4 - a^3 c + 2 a^2 b c - 3 a b^2 c - b^3 c + a^2 c^2 + 2 a b c^2 + b^2 c^2 - a c^3 - b c^3 + c^4 - a^3 d + 2 a^2 b d + 2 a b^2 d - b^3 d - 3 a^2 c d - a b c d + 2 b^2 c d + 2 a c^2 d - 3 b c^2 d - c^3 d + a^2 d^2 - 3 a b d^2 + b^2 d^2 + 2 a c d^2 + 2 b c d^2 + c^2 d^2 - a d^3 - b d^3 - c d^3 + d^4 - a^3 e - 3 a^2 b e + 2 a b^2 e - b^3 e + 2 a^2 c e - a b c e + 2 b^2 c e - 3 a c^2 e + 2 b c^2 e - c^3 e + 2 a^2 d e - a b d e - 3 b^2 d e - a c d e - b c d e + 2 c^2 d e + 2 a d^2 e + 2 b d^2 e - 3 c d^2 e - d^3 e + a^2 e^2 + 2 a b e^2 + b^2 e^2 + 2 a c e^2 - 3 b c e^2 + c^2 e^2 - 3 a d e^2 + 2 b d e^2 + 2 c d e^2 + d^2 e^2 - a e^3 - b e^3 - c e^3 - d e^3 + e^4)

６次　少しキレイな式になる

７次　理解不能な複雑さ

因数分解形

　５次や６次となると数式処理ソフトにお世話になるしかないでしょうね。だけど、数学五輪に出場する使徒たちは４次くらいまでは頭脳に詰め込んでいるのでしょうねえ。すげえなあ。

　オマケでありますが、８次と１０次の因数分解形を示しておきます。１０次の計算はCPU喰いました。
　意外にもシンプルです。偶数次行列式の因数分解形がシンプルなのは、きっと円分体の理論で証明できるんじゃないでしょうかね。

ベクトル・行列・行列式 徹底演習

【参考コード】
Mathematicaコード
　　　　　Det[Table[RotateLeft[{a,b,c,d,e,f,g},i],{i,0,6}]]