ファレイ数列(Farey series)の続きです。
ファレイ数列は上記のような既約分数のつながりです。この隣接する分数間には絶妙の関係があるのですが、そこはWIKIなどをご参照ください。
ここは前回論じたこれらの分数の(x,y)＝（分母、分子）としてやることで、面白げな折れ線が出来上ることをご報告します。
これはどういことか。
６を基数とするファレイ数列はこうなります。
それを次のような点列に置き換えるのです。
{1, 0}, {6, 1}, {5, 1}, {4, 1}, {3, 1}, {5, 2}, {2, 1}, {5, 3}, {3, 2}, {4, 3}, {5, 4}, {6, 5}, {1, 1}
図１：この順番で点列を結ぶとこのような鎌状の線分が描かれます。
相互に交差してないですね。
図２：ところでGCD（x,y）=１となる格子点は下記となるのを注意しておきます。
このGCD（x,y）=１となる格子点パターンは前回にも表示しました。
既にお気づきのように図１と２を同時に描くとこうなります。
つまり、ファレイ数列の並びは既約格子点を順次線分でつないだようになっているのです。
それはけっして交差することなく無限につながる変わり種ですね。
基数２０のファレイ数列を結んだ線分です。
次は、基数４０です。このあたりが見る側の限界ですね。
