円周率の代数的数での近似

　代数的数というのはｎ次方程式の根を指します。
　お題は円周率のような超越数を平方根とか立方根とかで近似してみようという発想。かなり以前に、平方根の中身ｎ／ｍという分数で近似精度をあげてみたこともあります。
　その時は、ふつうの連分数近似に負けてました。「負ける」というのはｍやｎが巨大数なのに近似精度が悪いという意味です。

　４乗根のまでの近似はこうなりました。

　この近似の意味を再度説明しておきます。
　二乗根、三乗根、四乗根と根号の中身が分数であるような円周率の近似数列を構成してます。

　二乗根の場合は次のようなｎ／ｍという分数を連分数の手法で探し出します。連分数展開は２個目で打ち切りとしています。それ故に１／ｍの分数しか現れないのです。*1

二項目の1/49がでてきます。円周率の近似値は「3.14286」程度ですね。

　次項の三乗根ではこの分数ｑ／ｐを計算します。一番近い分数を求めているのです。

　近似分数の1/494600507が出てきます。

　三乗根までの和の値は「3.141592653589565957574132」です。12桁まで正確。

では、結局４６桁まで円周率と一致してます。たった４項目でここまで一致したのは立派ですが、
3.141592653589793238462643383279502884197169399375105821

「374755768006676887406843862939865865646538668332700」という巨大数はいただけないですねえ。
　規約分数のペアの作る点を表示します。1,1/2,...3/4,5/6,....4/7...,10のような分母分子の数が1から10であるようなすべての分数の二次元点集合です。

同じペアに平方根を作用させると縮小します。点の数は同じです。

　重ねてみましょう。

この図で何が言いたいのか。平方根を加えると分数だけより近似精度が高い数値を求められるんじゃないの、みたいなことです。これからすれば、円周率に近い精度のいい数値を、１から１０の数字の組合せだけでも算出できるはずです。

　ところがそうはならない。
上記の代数的数の密度は有理数の密度と同じ、つまり、アレフ・ヌルなのでしょう。

【追記】
スモークマン氏のご要望の拡大図。三乗根や四乗根を重ねあわせてゆけば何か出るかもしれません。

数の世界―整数論への道 (科学ライブラリー)

　故和田教授の名著です。連分数の話しも丁寧な説明でした。

*1:このバビロニア的な展開制限を外すともっと精度は向上できますがキリが無くなるのですねえ。代案がないかなあ。