フェルマーの小定理に関わる擬素数 - 完全無欠で荒唐無稽な夢

　フェルマーの小定理は素数であるための必要条件を与える。
この定理は基を「２」とするとｐが奇素数（２以外の素数）であれば、下記が成立する。

ところが、これはpが素数であるための十分条件ではない。素数でもないのに、フェルマーの小定理が成立してしまう数を「擬素数」と呼ぶ。
　これには、３４１など下記のような数（素数以外）が含まれる。10000以下では次の22個である。ちなみに、３４１＝１１☓３１である。

341, 561, 645, 1105, 1387, 1729, 1905, 2047, 2465, 2701, 2821, 3277, 4033, 4369, 4371, 4681, 5461, 6601, 7957, 8321, 8481, 8911

１００万以下では２４５個ある。今では更新されているだろうが、リベンボイムの本では５０００万以下まで調べたヒトがいるそうだ（１９２６年）
そこでヒマに任せて１億までを調べてみた。
　「５５９７個」擬素数が存在することが判明した。

上記のリストを素因数分解してみよう。読み方、{{11},{31}}は３４１の素因数分解での素数である。

{{11},{31}},{{3},{11},{17}},{{3},{5},{43}},{{5},{13},{17}},{{19},{73}},{{7},{13},{19}},{{3},{5},{127}},{{23},{89}},{{5},{17},{29}},{{37},{73}},{{7},{13},{31}},{{29},{113}},{{37},{109}},{{17},{257}},{{3},{31},{47}},{{31},{151}},{{43},{127}},{{7},{23},{41}},{{73},{109}},{{53},{157}},{{3},{11},{257}},{{7},{19},{67}}

さて、ここでヘボイ質問を二つしてみる。

１）上記の素因数分解に登場しない素数はあるだろうか？ある程度大きなところまで擬素数を調べて、先の一億までの擬素数で最大なものは「999828727」であった。
　
　「341から999828727」の５５９７個の素因数分解で登場してこなかった素数を下の方から並べてみた。

983,1223,1367,1493,1543,1583,1787,1823,2063,2083,2237,2267,2309,2399,2411,2423,2503,2539,2591,2819,2957,3203,3307,3413,3491,3539,3623,3637,3671,3701,3767,3779,3803,3919,3923,3929,4007,4013,4079,4093,4099,4157,4229,4243,4283,4327,4391,4507,4517,4547,4549,4703,4877,4919,4943,4957,4967,4987,5003,5011,5039,5051,5077,5087,5099,5107,5119,5261,5303,5323,5351,5399,5479,5503,5507,5519,5573,5639,5651,5683,5693,5717,5741,5743,5779,5783,5813,5839,5927,5939,5987,6011,6047,6143,6199,6203,6247,6263,6299,6311,6317,6323,6343,6359,6367,6373,6379,6469,6547,6569,6577,6599,6619,6653,6691,6719,6733,6737,6763,6779,6781,6827,6869,6883,6899,6911,6917,6959,6971,6977,7013,7019,7039,7043,7079,7127,7219,7237,7247,7253,7283,7307,7451,7499,7507,7517,7529,7559,7573,7583,7589,7607,7639,7643,7649,7669,7691,7699,7703,7717,7727,7817,7823,7853,7877,7883,7919,7933,7937,7949,8039,8087,8093,8111,8123,8147,8231,8237,8263,8287,8291,8311,8363,8369,8377,8387,8419,8423,8513,8539,8543,8563,8573,8597,8599,8623,8627,8647,8663,8719,8731,8753,8807,8819,8821,8837,8839,8861,8867,8893,8923,8933,8963,9007,9011,9013,9029,9043,9059,9103,9127,9161,9173,9203,9221,9227,9239,9257,9283,9293,9311,9343,9377,9391,9403,9419,9421,9437,9461,9463,9467,9479,9497,9539,9613,9629,9661,9677,9689,9733,9739,9743,9749,9767,9803,9833,9839,9851,9859,9883,9887,9907,9923,9931,9967,9973,10007,10037,10067,10069,10079,10099,10103,10111,10139,10141,10151,10159,10163

　まだまだ続くけれども、もういいであろう。９８３未満の素数は素因数ですべて使われているが、９８３、１２２３などの素数は無視されているようである。
　この傾向は一時的なものであろうか？

２）次の疑問は、素因数で因数は一度きりであろうか？　つまり、こんな形態に素因数分解されるものばかりだろうか？