√2の指数のタワーとはこんなものを指します。
この無限の極限値は２であることが簡単に示せます。
では、どのようにして２に近づいていくのでしょう。
関数型言語での道行をメモしておきます。指数関数を下記のように定義する。
そして、この反復をNestします。5回の場合の表現はこうですかね。
ここでは15回のタワーを数値計算してみました。
{1.41421, 1.63253, 1.76084, 1.84091, 1.89271, 1.927, 1.95003, 1.96566, 1.97634, 1.98367, 1.98871, 1.99219, 1.99459, 1.99626, 1.99741, 1.9982}
では、このｎ番目の値をａn として、２－ａnのすべての和の極限は何になるかが気になります。
【追記】
Gaussが生前唯一評価した、しかも夭折したEisennsteinによるとこのタワー関数は、xがe^(1/e)より大きくなると発散するのだそうな。x＝n^(1/n)になると考えていたら間違うということだ。
