レーリーの定理とは物理学者の発見（証明はしていない）による自然数の分類に関わる法則だ。
αとβという正の無理数があり、下式を満たすとしよう。
２つの集合AとBを以下のように定義する。[ ]はガウス記号でありますね。
A＝｛[α n]｝; n=1,2,3,......
B＝｛[α n]｝; n=1,2,3,......
その時、A∩B＝∅ であり、A∪B={1,2,3,4,5,.........}
２つの集合に自然数を重なること無く分解できるわけです。
たとえば、
とするとAとBにｎ＝１から３０まで順番に入れて計算すれば、
{1, 2, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 14, 15, 16, 18, 19, 21, 22, 24, 25, 26, 28, 29, 31, 32, 33, 35, 36, 38, 39, 41, 42}
と以下の集合に分かたれます。
{3, 6, 10, 13, 17, 20, 23, 27, 30, 34, 37, 40, 44, 47, 51, 54, 58, 61, 64, 68, 71, 75, 78, 81, 85, 88, 92, 95, 99, 102}
これをば証明をした数学者にちなんでビーティ数列といいます。
一連の自然数を２つにわけるということを「０」と「１」というように表現すれば、
{1,2,3,4,5,6,7,8,9,.................................,20}を{1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0}と
表現しても同じことでしょう。
かくて、１から２０までの自然数を
をそれぞれ適用するれば、
{{1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0}, {0, 1,0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1}, {0, 0, 1, 0,0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0}}となります。
１を黒、０を白とするとこのような可視化ができるわけです。
上の平方根は下式から生成しています。
ｎ＝1,2,3と行けば、どれも無理数でありますね。これをn=５０まで拡げ、５０までの自然数を分類したものを可視化したのがこうなります。
この定理は2つに自然数をわけると主張していますが、集合の要素の数が均等になるとはしていない。この例のようにｎによってはどちらかに偏るのはあたりまえなのです。
左下の空白が語るのは、あるｎまではランダムですが、大きくなると片方の集合に寄せられてしまうのですね。もっと上下に変動するような無理数列があると面白いパターンになります。
たとえば、[Log[n + 1] k]で計算すると小さな自然数が均等に分解されると同時に
