分割数をみる

　分割数（ partition function）は自然数 n の分割の総数であります。オイラーの研究に始まるこの分野の研究はハーディやラマヌジャンの公式を始めとする２０世紀の数学シーンでも脚光を浴び、現在でも進化中であります。

　ここでは、その可視化をトライしたので、それを披露します。

　５の分割を例にとります。
{5}, {4, 1}, {3, 2}, {3, 1, 1}, {2, 2, 1}, {2, 1, 1, 1}, {1, 1, 1, 1, 1}
の７通りの分割ケースがあります。「７」が分割数です。この並びは左側には大きい数かつ分割が少ない順とみなせます。

　下はこの並びを長方形で表示してみたわけですね。

　左の列から高さ５で幅１の長方形、次が高さ４で幅１と高さ１で幅１の四角形の積み上げ．．．ということで、単純に幅が１の四角形を積み上げているだけでありますな。面積は５☓７＝３５となります。

８の分割状況はこうなります。

分割数は急速にでかくなります。

１４では分割数は１３５です。その状況はこうです。

　どうでしょう、自然界の深謀遠慮が見えてくる、ような気がするではありませんか。
２０で描画してみたのですが、ここには狭くて表示出来ません。６２７になります。

　この分野の初等定理にオイラー恒等式というものがあります。
　相異なる自然数（和因子とも）への分割数は奇数和因子への分割数とおなじだけある。これを表示してみたいと考えます。 上記の「５」の事例では{5},{4, 1}, {3, 2}が相異なる分割で３個、奇数和因子への分割は{5}, {3, 1, 1}, {1, 1, 1, 1, 1}で３個という意味ですかね。

：：追記：：
　2014年9月号の日経サイエンス記事『ラマヌジャンの予言』によれば日系アメリカ人のケン・オノがラマヌジャン最後のノートに記された分割数に関するメモを定理にしたとされている。モックテータ関数というモジュラー関数と密接な関係を見出すことに成功したらしい。ケン・オノはエモリー大学の教員である。

【参考書】
　今は手元にありませんが、こんな専門書も出ていました。家の蔵書で眠っています。ほぼ包括的に分割問題を
丁寧に解説してました。

整数の分割