楕円が２点（焦点）からの距離が一定という観点から導出できるのを示したのは十代のMaxwell（電磁気学の創設者の一人）だったと記憶している。双曲線はその距離が差が一定という要請から導出される。
３点から距離の和が一定という要請からの閉曲線(これもMaxwellの十代の初論文)は見たことがある人も多かろう。
単位円の上にある正三角形の三頂点からの距離の和＝４という前提で描画した。以下、同様の条件で研鑽を積む。
導出過程は飛ばす。距離の和をｋとすると上記の閉曲線の式はこうなる。
実はこの式は上記の閉曲線以外の解が入り混じっているのだ。
それは２点からの距離の和から１点からの距離を引いた値が一定というもの。擬似双曲線みたいな〜もんですな。
上述の値ｋ＝１とすると下図になる。
ｋ＝４ではこうなる。中央にある閉曲線が全体和のが一定な解であり、周囲は擬似双曲線になる。
つまり、４つの実数解が導出するときに混入するわけだ（平方根を消去するのに二乗を２回する）
蛇足であるけど連続的生成を重ねたものを提示しておく。
