ある数列の自然数の素因数分解からの誕生

　１，２，３，４，５，６,．．．．．と続くおなじみの自然数の列を素因数分解してみよう。
　１，２，３,２＾２，５,２＊３,．．．
となる。ここで素因数の数を数える。
　素数は１となるし、４も２しか素因数を含まないので１、６は２と３なので２となる。
１から１００までは、こんな光景になるであろう。
{1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 3, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 2, 2, 2, 1, 3, 1, 2, 2, 2, 1, 2, 1, 2, 2, 2, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 3, 1, 2, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 2, 3, 1, 2, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 1, 2, 1, 2, 1, 3, 2, 2, 2, 2, 1, 3, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 2, 2, 2}

１が３６個、２が５６個、３が８個になる。これをこんな様式で表現しておこう。
{{1, 36}, {2, 56}, {3, 8}}

１に属する数は素数と素数のべき乗が含まれることになる。

１から１０００までは、こうなる。２が最大である。
{{1, 194}, {2, 508}, {3, 275}, {4, 23}}

１から１００００まではこうだ。
{{1, 1281}, {2, 4097}, {3, 3695}, {4, 894}, {5, 33}}

　ここまでで、最大の数は１００で３、１０００で４、１００００で５となるのに気がついたであろうか。実はこの傾向は続かない。
さらに、２が一番多いのはいつまで続くであろうか？
１０万までで主役が交代してしまうのだ。

{{1, 9701}, {2, 33759}, {3, 38844}, {4, 15855}, {5, 1816}, {6, 25}}

　１億までの結果をグラフにした。縦軸は個数の対数である。