コラッツの問題は、普通、このように定式化される。
自然数ｎが与えられたとせよ。
１）ｎが偶数なら2で割れ
２）ｎが奇数なら3n+1 で置き換えよ
これを反復すると必ず１になるというのが、コラッツの予想だ。
見かけは単純な問題だが、半世紀以上にわたり証明されていない。また、計算機を総動員して探求しても反例は発見されていない。
エルデシュは現代数学はこの予想を解決できるほど成熟していないと宣言したという。
自分が試みるのは単純な拡張である。ガウス平面の整数 a + I b（a,bは整数）に対して、コラッツの問題を拡張するだけだ。Iは虚数だ。
初期に複素整数 a + I bを与える。
１）a, b ともに偶数なら、両方を２で割れ
２）aが奇数でbが偶数なら、aを3 b+1で置き換え、bを2で割れ
３）aが奇数でbが偶数なら、aを２で割り、bを3 b+1で置き換えよ
以上を反復して、終了条件は
|a + I b|=<2
とする。
複素コラッツの予想はどのような複素整数も|a + I b|=2に収束するとなる。
いくつかの試算では、複素コラッツの予想は成り立たない。
たとえば、-12 - 5 I はループする。
-6 - 14 I, -3 - 7 I, -8 - 20 I, -4 - 10 I, -2 - 5 I, -1 - 14 I, -2 - 7 I, -1 - 20 I, -2 - 10 I, -1 - 5 I, -2 - 14 I, -1 - 7 I, -2 - 20 I, -1 - 10 I, -2 - 5 I, -1 - 14 I, -2 - 7 I, -1 -20 I, -2 - 10 I, -1 - 5 I, -2 - 14 I, -1 - 7 I, -2 - 20 I, -1 - 10 I, -2 - 5 I, -1 - 14 I, -2 - 7 I, -1 - 20 I, -2 - 10 I, -1 -5 I, -2 - 14 I, -1 - 7 I, -2 - 20 I, -1 - 10 I, -2 - 5 I, -1 - 14 I, -2 - 7 I, -1 - 20 I, -2 - 10 I, -1 - 5 I, -2 - 14 I, -1 - 7 I, -2 - 20 I, -1 - 10 I, -2 - 5 I, -1 - 14 I, -2 - 7 I, -1 -20 I, -2 - 10 I, -1 - 5 I, -2 - 14 I, -1 - 7 I, -2 - 20 I, -1 - 10 I, -2 - 5 I, -1 - 14 I, -2 - 7 I, -1 - 20 I, -2 - 10 I, -1 - 5 I .....
どうもある状態で実部か虚部がプラスマイナス１になると振動状態に落ち込むようだ。
もちろん、収束するケースはある。-12 - I 3 を示す。
-6 - 8 I, -3 - 4 I, -8 - 2 I, -4 - I, -2 - 2 I, -1 - I
