奇妙なふるまいをする関数

 円周率πを用いて、次の関数を定義する。

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{ } はガウス記号で、小数点以下を切り捨てる。

 xが4と5の区間で連続値として描画する。

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 周期的にくし形になっているかのように見えるが、それは計算上の手抜きである。

同じ区間を1/100刻みの離散的に計算したものの結果は異なる。

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 離散化の影響は刻み目の細分化でにより増幅される。1/1000刻みのグラフはまったくことなる特性のグラフになる。

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刻みが1/2000のグラフ。

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 ということで、このカオス的なふるまいの原因は、円周率πの超越性にあると推測されるのだけれど、どなたか説明してもらえないだろうか?

 

 もともとは、頭にこびりついて離れない円周率の代数的数による近似表現を見つける計算問題に端を発する。

 よって、1/1000刻みの離散的なxでf(x)が最小値となる組み合わせを探索していた。

下図では縦軸を対数にしているが、X=6近辺に最小値が見えている。

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 この最小値を拾ってくると     f:id:Hyperion64:20210706063000j:plain    となる。指数が1/6近辺だ。

この数はおよそ、3.1415925896051344446となり、円周率の近似表現になっている。

 あるいは精度が落ちるが簡易化して、

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 もπの近似表現としては許されるだろう。近似精度は落ちてしまうのが難であるけれど。

 もひとつ、おまけにこんな関数により二次元化する。

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基本的には三次元の点列として表示できる。

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動的にその構造を見分けるにはグラフを動的に視点をかえるのがよさそうだ。トライしたのが下のもの。

 

 

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