調和級数の無限極限は収束しそうで収束しないので、調和ではないと文句をつけたがるのは自分一人くらいなものかな。
英語ではHarmonic Seriesという。ピュタゴラスが発見した音階法則のおかげで調和というらしい。
ここでHarmonic数を含むいろいろなタイプの極限をいろいろ試算してみた。
これは収束するようである。
0.58224051581477
次のようなのは発散してしまいます。
以後、簡略化のため1から1/nまでの和をHnと表記するとしましょう。
この極限は収束するだろうか？分母はゆっくりだけど無限大になるので、各項はゼロに近づく。だが、オイラーの定数γとして、分母の大きさはHn〜Logｎ＋γなので分母はｎの二乗より小さいため総和は発散するであろう。
他方、こちらは収束するようだ。
0.72465153267997
こうしてｎ階乗で割ってみよう。
2.1653822153269363594209863484924306
この式は収束しそうもない。
１０万項目まで計算してみると「73.90827875417492551125947」となり緩やかに増大中でした。
だから交代級数化してやる。各項がゼロに収束すれば交代級数の極限は収束する。
http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/kaisekikiso/node18.html←定理１１
0.58218007601162
この極限もシンプルで何になるか気になる。
極限値は存在するが小数点３桁以下がなかなか収束しない。とりあえずの数値を載せます。
0.62633248273791
今回の大目玉はこれでしょうか。
2.4041138063191885707994763194
なんと、ζ(3)×2とかなり一致してます！その数値はこうです。
2.40411380631918857079947632302
ζ(3)はゼータ関数で、無理性を証明した数学者の名をとり、アペリの定数ともいいますが、調和級数とこんな関係があればスゴイのです。←残念ながら1974年に発見されていました！
