仮称 パスカルの逆数三角形

　こんな数の三角形をなんとなく生成してみた。

　ご覧のとおり、パスカルの三角形の数が逆数になっただけのものだ。
この生成規則はちょっとおもしろい。

　ａ＋ｂがパスカルの三角形の場合の生成規則だったのが、ここでは調和平均的な式に置き換えられる。もちろん、a,bは上の行の隣接する要素である。

　いくらでも計算できような枠組みを作成した。

　では、生成規則をこうしたらどうなるであろうか？

　５段目まで計算するとこうなった。とくにおもしろい数列ではない。

あるいはこんな対称式でトライしてみるとこうなる（全てを２で割っている）

　f(a,b)=a b　としたらどうか？

　{1,1}{2,2}などでは単調なパターンになるのは火を見るより明らかだ。
だが、実数ではなく虚数だと少々興味深い展開を見せる。
(i , i)で開始したケースを示しておこう。ｉは虚数単位だ。

　すべて虚数だけになる項があるのがわかる。
また、こんなケースを加えることもできる。

　f(a,b)=a^2-a b+b^2

(i , i)でスタートすると途中から数が増大するようになる。

{{I, I}},
{{I, -1, I}},
{{I, I, I, I}},
{{I, -1, -1, -1, I}},
{{I, I, 1, 1, I, I}},
{{I, -1, -I, 1, -I, -1, I}},
{{I, I, -I, I, I, -I, I, I}},
{{I, -1, -3, -3, -1, -3, -3, -1, I}},
{{I, I, 7, 9, 7, 7, 9, 7, I, I}},
{{I, -1, 48 - 7 I, 67, 67, 49, 67, 67, 48 - 7 I, -1, I}}

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　高校生の自由研究から生まれたパスカル三角形のバリエーションの世界。超黄金比がいい。
ライプニッツの調和三角形は上記の逆数三角形と似ているが、逆方向から進める。

11からはじまる数学―k‐パスカル三角形、k‐フィボナッチ数列、超黄金数