１，２，３、．．．無限大。ガモフの科学啓蒙書のタイトルではないが、自然数だけでもマカ不思議なことは山ほどある。
その一つがオイラーが解を与えた問題だ。
上記の無限和はπ^2/6となる。
そのバリエーションで、面白いことができる。交代級数でこちらも収束する。
これが本日の主題である。
さて、この自然数の逆数の部分は一辺が1/nの正方形の面積になるのは、誰でも認めてくれる。だけどもそのプロセスを図示したのは、そんじょそこらでは見かけないであろう。
誰あろう、このブログでは、暇つぶしに図示してみたのであります。
はじめの全体像です。高さ＝１の正方形が黒です。そこに高さ１／２の黄色の正方形を差っ引いたイメージがこうです。
Ａ図
上の図の左下の１／４を拡大しておきます。以降はこの全体の４分のⅠだけを表示します。
１／２の正方形に１／３の正方形を上塗りするところからです。１／３の正方形の面積を加算したことになります。
始まりはこうでしたが、黒の部分がやがてπ^2/12-3/4になるところの部分である（他の3/4分はＡ図で既に黒い！）
中央部で黒のプラス面積と黄色のマイナス面積の正方形を交互に上塗りしてゆきます。
正方形は交互に黒と黄色となり、しかも直前の正方形より小さいのでこうしたパターンに落とし込めるわけです。
再度、全体図を描画しておきます。ヘソのような出っ張りは、収束してx=y=（1-log2）に接近します。正方形の左下を原点にしています。
こうして黒い部分の面積はπ^2/12=0.82246703342411321．．．に落ち着いてゆくのです。
夏休みの宿題的なお遊びでした。
