20の性質 - 完全無欠で荒唐無稽な夢

　２０の性質とか書いているが、今年の成人の性格をグチるのではない。
次のような性質をもつ自然数である「２０」を記名するだけであります。

１＋７＋７×７＋７×７×７＝２０×２０

すなわち、三乗数の約数の和が平方数となるの７と２０のペア以外はないようです。
四乗数の約数の和が平方数となるは３と１１のペアだけのようです。

１＋３＋３×３＋３×３×３＋３×３×３×３＝１１×１１

ただし、二乗数（平方数）の約数の和が平方数となるのは、やまほど存在するようです。

　いくつかケースを数値計算でチェックしましたが、上のような関係は見つかりませんでした。
こうなるとｎ乗数（ｎ＞３）の約数の和が立方数となるのは、存在しないのではないでしょうか。
同様にｎ乗数（ｎ＞３）の約数の和が五乗数となることもないようです。

　全部調べたわけでも、証明したわけでもありません。ただの数万ケースのチェックだけでの発言なので、反例大歓迎です。

以上、
ル・リヨネの『何だこの数は？』に刺激受けて計算してみた次第です。