ある平方根の反復について

 次式の無限反復する平方根極限値を知っているだろうか?

 

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答えは「3」である。ラマヌジャンのノートにある。

 実際、13までで区切って、数値計算しても「3.00275082」となるのだから、ここは天才の成果を鵜呑みにしておくことにしよう。おそらくとても面倒な級数展開を睡眠中に実施した結果なのだろう。

 

 この結果を利用すると下式の特殊な場合にも数値を出せる。

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これも無限に反復する平方根だ。パターンはラマヌジャンのものと同一で、u とvという変数を埋め込んでいる。

 v=√u であるとすると上記の値は 「3√u」になることが示せる。具体的には、

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極限値が「6」となるわけであります。

 高校数学習いたての人の頭の体操にふさわしい問題でしょう。

この応用として、下記の反復する平方根も解ける。

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答えはこうなることは各自確認してみてほしい。

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